Аржанцев Иван Владимирович

Factorial algebraic group actions and categorical quotients

2013 · ARTICLE · en

Given an action of an affine algebraic group with only trivial characters on a factorial variety, we ask for categorical quotients. We characterize existence in the category of algebraic varieties. Moreover, allowing constructible sets as quotients, we obtain a more general existence result, which, for example, settles the case of afinitely generated algebra of invariants. As an application, we provide a combinatorial GIT-type construction of categorical quotients for actions of not necessarily reductive groups on, e.g. complete varieties with finitely generated Cox ring via lifting to the characteristic space

Acyclic curves and group actions on affine toric surfaces

2013 · CHAPTER · en

Infinite transitivity on affine varieties

2013 · CHAPTER · en

In this note we survey recent results on automorphisms of affine algebraic varieties, infinitely transitive group actions and flexibility. We present related constructions and examples, and discuss geometric applications and open problems.

Flexible varieties and automorphism groups

2013 · ARTICLE · en

Given an irreducible affine algebraic variety X of dimension n≥2, we let SAut(X) denote the special automorphism group of X, that is, the subgroup of the full automorphism group Aut(X) generated by all one-parameter unipotent subgroups. We show that if SAut(X) is transitive on the smooth locus Xreg, then it is infinitely transitive on Xreg. In turn, the transitivity is equivalent to the flexibility of X. The latter means that for every smooth point x∈Xreg the tangent space TxX is spanned by the velocity vectors at x of one-parameter unipotent subgroups of Aut(X). We also provide various modifications and applications.

Flag varieties, toric varieties, and suspensions: three instances of infinite transitivity

2012 · ARTICLE · en

We say that a group G acts infinitely transitively on a set X if for every m ∈ N the induced diagonal action of G is transitive on the cartesian m-th power X^m\Δ with the diagonals removed. We describe three classes of affine algebraic varieties such that their automorphism groups act infinitely transitively on their smooth loci. The first class consists of normal affine cones over flag varieties, the second of nondegenerate affine toric varieties, and the third of iterated suspensions over affine varieties with infinitely transitive automorphism groups.

Многообразия флагов, торические многообразия и надстройки: три примера бесконечной транзитивности

2012 · ARTICLE · ru

Будем говорить, что группа G действует на множестве X бесконечно транзитивно, если для любого m ∈ N диагональное действие группы G транзитивно на X^m \ Δ, где X^m \ Δ – дополнение к объединению диаго- налей в m-й декартовой степени множества X. Описываются три класса аффинных алгебраических многообразий, для которых группа автоморфизмов действует на множестве гладких точек бесконечно транзитивно. Первый класс образуют нормальные конусы над многообразиями флагов, второй – невырожденные торические многообразия, третий – итерированные надстройки над аффинными многообразиями с бесконечно транзитивной группой автоморфизмов описанного типа. Библиография: 42 названия.

Polyhedral Divisors and SL(2)-Actions on Affine T-Varieties

2012 · ARTICLE · en

In this paper we classify SL_2-actions on normal affine T-varieties that are normalized by the torus T. This is done in terms of a combinatorial description of T-varieties given by Altmann and Hausen. The main ingredient is a generalization of Demazure's roots of the fan of a toric variety. As an application we give a description of special SL_2-actions on normal affine varieties. We also obtain, in our terms, the classification of quasihomogeneous SL_2-threefolds due to Popov.

Студенческие олимпиады по алгебре на мехмате МГУ

2012 · BOOK · ru

Студенческие олимпиады по алгебре проводятся на мехмате МГУ с 2006 г. В книге собраны условия и решения задач этой олимпиады с 2006 по 2010 г. Многие задачи, использованные на олимпиадах, являются оригинальными, други взяты из книг, научных статей и математического фольклора. Книга предназначена для школьников старших классов математического профиля, студентов и аспирантов.

Finite-dimensional subalgebras in polynomial Lie algebras of rank one.

2011 · ARTICLE · en

Flag varieties as equivariant compactifications of G_a^n

2011 · ARTICLE · en