DSA Faculty
API
← к списку преподавателей

Колесников Александр Викторович

Факультет математики

Профиль на hse.ru ↗ тел.: +7 (495) 772-95-90 | 15337
Публикаций
89
Языков
2
Наград
6
Конференций
5
Профиль Публикации (89) Курсы (13)

Профессиональные интересы

Теория оптимальной транспортировкиуравнения Монже-АмпераСоболевские пространстваизопериметрическое неравенствобесконечномерный анализВыпуклая геометриягеометрические потокиэллиптические и параболические уравнения в частных производныханализ на римановых многообразияхГауссовы мерыстохастика

Должности

  • Заместитель декана по учебной работе — Факультет математики
  • профессор — Факультет математики
  • Ведущий научный сотрудник — Факультет компьютерных наук, Институт искусственного интеллекта и цифровых наук, Международная лаборатория стохастических алгоритмов и анализа многомерных данных

Био

  • · Начал работать в НИУ ВШЭ в 2009 году.
  • · Научно-педагогический стаж: 19 лет.

Образование

  • 2006 · Доктор физико-математических наук: Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, специальность 01.01.00 «Математика»
  • 2003 · Кандидат наук: специальность 01.01.00 «Математика»
  • 2002 · Аспирантура: Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, факультет: механико-математический
  • 1999 · Специалитет: Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, факультет: механико-математический, специальность «Математика, прикладная математика», квалификация «Математик»

Опыт работы

  • · 2009: Работает в НИУ ВШЭ с года

Награды и поощрения

  • · Медаль "Признание - 10 лет успешной работы" НИУ ВШЭ (май 2022)
  • · Надбавка за публикации, вносящие особый вклад в международную научную репутацию НИУ ВШЭ (2024–2026, 2022–2025)
  • · Надбавка за публикацию в международном рецензируемом научном издании (2020–2021, 2018–2020)
  • · Надбавка за статью в зарубежном рецензируемом журнале (2014–2016, 2012–2014)
  • · Надбавка за статью в зарубежном рецензируемом научном издании (2016–2018)
  • · Лучший преподаватель — 2021, 2012

Гранты и проекты

  • — · на соискание учёной степени кандидата наук

Конференции (5)

Показать все
  • · 2018: Коллоквиум "Москва-Пиза" (Москва). Доклад: Logarithmic Minkowski problem and optimal transportation
  • · 2018: Коллоквиум "Москва-Пиза" (Москва). Доклад: Logarithmic Minkowski problem and optimal transportation
  • · 2017: Probability and Analysis 2017 (Będlewo). Доклад: On KLS conjecture for certain classes of convex sets
  • · 2016: Stochastic Partial Differential Equations and Related Fields (Bielefeld). Доклад: Sobolev estimates for mass transportation mappings with application to transport equations and spectral gap
  • · 2015: Algebraic structures in convex geometry (Москва). Доклад: On the Monge-Ampere equation, related metric-measure spaces, and isoperimetric inequalities for convex bodies

Идентификаторы исследователя

Публикации (89)

Sobolev regularity for the Monge-Ampere equation in the Wiener space.

2013 · ARTICLE · en

Numerous applications of the optimal transportation theory in finite-dimensional spaces have been found during the last decade. They include differential equations, probability theory, and geometry. The situation in infinite-dimensional spaces has been much less studied. However, some partial results on existence, uniqueness, and regularity have been obtained in recent papers of D. Feyel, A.S. Ustunel, M. Zakai, and the authors. In this paper we study regularity properties of the infinite-dimensional transportation of measures on the Wiener space, where the transportation cost is given by the integral squared Cameron-Martin norm, the target measure is the Wiener measure, and the source measure is absolutely continuous with respect to the Wiener measure. Assuming that the density has the finite Fisher information (belongs to a certain Sobolev class), we prove that the potential of the corresponding optimal transportation belongs to the second (weighted) Sobolev space W^{2,2}. Some estimates involving higher-order derivatives are given. This result settles a long-standing problem and is of principal importance for the whole area of infinite-dimensional optimal transport and its applications in stochastic analysis and measure theory in infinite dimensions.

PDF ↗

Eigenvalue distribution of optimal transportation.

2013 · PREPRINT · en

We investigate the Brenier map \nabla \Phi between the uniform measures on two convex domains in \mathbb{R}^n or more generally, between two log-concave probability measures on \mathbb{R}^n. We show that the eigenvalues of the Hessian matrix D^2 \Phi exhibit remarkable concentration properties on a multiplicative scale, regardless of the choice of the two measures or the dimension n.

PDF ↗

On Sobolev Regularity of Mass Transport and Transportation Inequalities

2013 · ARTICLE · en

We study Sobolev a priori estimates for the optimal transportation $T = \nabla \Phi$ between probability measures $\mu=e^{-V} \, dx$ and $\nu=e^{-W} \, dx$ on ${\bf R}^d$. Assuming uniform convexity of the potential $W$ we show that $\int \| D^2 \Phi\|^2_{HS} \, d\mu$, where $\|\cdot\|_{HS}$ is the Hilbert--Schmidt norm, is controlled by the Fisher information of $\mu$. In addition, we prove a similar estimate for the $L^p(\mu)$-norms of $\|D^2 \Phi\|$ and obtain some $L^p$-generalizations of the well-known Caffarelli contraction theorem. We establish a connection between our results and the Talagrand transportation inequality. We also prove a corresponding dimension-free version for the relative Fisher information with respect to the Gaussian measure.

DOI ↗

Remarks on the Afriat's theorem and the Monge-Kantorovich problem

2013 · PREPRINT · en

The classical concept of the revealed preferences was introduced by P. Samuelson and studied by H.S. Houthakker, M. Richter, S. Afriat, H. Varian and many others. It was shown by Afriat that the so called SARP (or cyclically consistence) axiom is a necessary and sufficient condition for existence of an appropriate concave utility function for a finite set of choices and prices observed (this is called the rationalization of the preferences relations by a concave utility function). Later Varian suggested some effective tests for SARP in the homogeneous case. The result on existence of a homogeneous concave utility function can be considered as a particular fact of the Monge-Kantorovich mass transportation theory, which has found numerous applications in many fields of mathematics during the last decade. In this paper we explain this viewpoint and discuss some related questions. We give an instructive and short description of the relation between these concepts, which seems somehow missing in the literature. Applying some recent results on the Monge–Kantorovich problem, we give a complete characterization of the homogeneous rationalizable data sets in the continuous case from the ”optimal mass transportation” viewpoint.

PDF ↗

Приложения. Транспортная задача и концентрация

2013 · CHAPTER · ru

Излагается теория концентрации меры с точки зрения транспортной задачи.

Optimal transportation of processes with infinite Kantorovich distance. Independence and symmetry.

2013 · PREPRINT · en

We consider probability measures on $\mathbb{R}^{\infty}$ and study natural analogs of optimal transportation mappings for the case of infinite Kantorovich distance. Our examples include 1) quasi-product measures, 2) measures with certain symmetric properties, in particular, exchangeable and stationary measures. It turns out that the existence problem for optimal transportation is closely related to various ergodic properties. We prove the existence of optimal transportation for a certain class of stationary Gibbs measures. In addition, we establish a variant of the Kantorovich duality for the Monge--Kantorovich problem restricted to the case of measures invariant with respect of actions of compact groups.

PDF ↗

Remarks on Afriat's theorem and the Monge-Kantorovich problem

2013 · ARTICLE · en

The famous Afriat’s theorem from the theory of revealed preferences establishes necessary and sufficient conditions for the existence of utility function for a given set of choices and prices. The result on the existence of a homogeneous utility function can be considered as a particular fact of the Monge–Kantorovich mass transportation theory. In this paper we explain this viewpoint and discuss some related questions.

DOI ↗ PDF ↗

The Monge-Kantorovich problem: Achievements, connections, and perspectives

2012 · ARTICLE · en

This article gives a survey of recent research related to the Monge-Kantorovich problem. Principle results are presented on the existence of solutions and their properties both in the Monge optimal transportation problem and the Kantorovich optimal plan problem, along with results on the connections between both problems and the cases when they are equivalent. Diverse applications of these problems in non-linear analysis, probability theory, and differential geometry are discussed.

DOI ↗ PDF ↗

Соболевская регулярность транспортировки вероятностных мер и транспортные неравенства

2012 · ARTICLE · ru

В работе изучаются соболевские априорные оценки для оптимальной транспортировки $T = \nabla \Phi$ вероятностных мер $\mu=e^{-V} \ dx$ и $\nu=e^{-W} \ dx$ на $\R^d$. В предположении равномерной выпуклости потенциала $W$ в работе доказано, что величина $\int \| D^2 \Phi\|^2_{HS} \ d\mu$, где $\|\cdot\|_{HS}$ --- норма Гильберта-Шмидта, ограничена информацией Фишера меры $\mu$. Помимо этого доказаны близкие оценки для $L^p(\mu)$-нормы $\|D^2 \Phi\|$ и получены $L^p$-обобщения известной теоремы Каффарелли о сжатии. Установлены соотношения между результатами настоящей статьи и транспортным неравенством Талаграна. Также доказаны не зависящие от размерности версии данного неравенства для информации Фишера относительно гауссовских мер.

PDF ↗

Соболевская регулярность для бесконечномерного уравнения Монжа-Ампера

2012 · ARTICLE · ru

Работа связана с изучением соболевской регулярности отображений оптимальной транспортировки в бесконечномерных пространствах, наделенных гауссовской мерой. Найдены условия принадлежности соболевскому классу для таких отображений. Доказана формула замены переменных.

PDF ↗

Курсы (13)