DSA Faculty
API
← к списку преподавателей

Колесников Александр Викторович

Факультет математики

Профиль на hse.ru ↗ тел.: +7 (495) 772-95-90 | 15337
Публикаций
89
Языков
2
Наград
6
Конференций
5
Профиль Публикации (89) Курсы (13)

Профессиональные интересы

Теория оптимальной транспортировкиуравнения Монже-АмпераСоболевские пространстваизопериметрическое неравенствобесконечномерный анализВыпуклая геометриягеометрические потокиэллиптические и параболические уравнения в частных производныханализ на римановых многообразияхГауссовы мерыстохастика

Должности

  • Заместитель декана по учебной работе — Факультет математики
  • профессор — Факультет математики
  • Ведущий научный сотрудник — Факультет компьютерных наук, Институт искусственного интеллекта и цифровых наук, Международная лаборатория стохастических алгоритмов и анализа многомерных данных

Био

  • · Начал работать в НИУ ВШЭ в 2009 году.
  • · Научно-педагогический стаж: 19 лет.

Образование

  • 2006 · Доктор физико-математических наук: Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, специальность 01.01.00 «Математика»
  • 2003 · Кандидат наук: специальность 01.01.00 «Математика»
  • 2002 · Аспирантура: Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, факультет: механико-математический
  • 1999 · Специалитет: Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, факультет: механико-математический, специальность «Математика, прикладная математика», квалификация «Математик»

Опыт работы

  • · 2009: Работает в НИУ ВШЭ с года

Награды и поощрения

  • · Медаль "Признание - 10 лет успешной работы" НИУ ВШЭ (май 2022)
  • · Надбавка за публикации, вносящие особый вклад в международную научную репутацию НИУ ВШЭ (2024–2026, 2022–2025)
  • · Надбавка за публикацию в международном рецензируемом научном издании (2020–2021, 2018–2020)
  • · Надбавка за статью в зарубежном рецензируемом журнале (2014–2016, 2012–2014)
  • · Надбавка за статью в зарубежном рецензируемом научном издании (2016–2018)
  • · Лучший преподаватель — 2021, 2012

Гранты и проекты

  • — · на соискание учёной степени кандидата наук

Конференции (5)

Показать все
  • · 2018: Коллоквиум "Москва-Пиза" (Москва). Доклад: Logarithmic Minkowski problem and optimal transportation
  • · 2018: Коллоквиум "Москва-Пиза" (Москва). Доклад: Logarithmic Minkowski problem and optimal transportation
  • · 2017: Probability and Analysis 2017 (Będlewo). Доклад: On KLS conjecture for certain classes of convex sets
  • · 2016: Stochastic Partial Differential Equations and Related Fields (Bielefeld). Доклад: Sobolev estimates for mass transportation mappings with application to transport equations and spectral gap
  • · 2015: Algebraic structures in convex geometry (Москва). Доклад: On the Monge-Ampere equation, related metric-measure spaces, and isoperimetric inequalities for convex bodies

Идентификаторы исследователя

Публикации (89)

Local Lp-Brunn-Minkowski inequalities for p<1

2017 · PREPRINT · en

We study local versions of the log-Brunn-Minkowski and p-Brunn-Minkowski conjecture.

PDF ↗

Moment measures and stability for Gaussian inequalities

2017 · ARTICLE · en

Let γ be the standard Gaussian measure on Rn and let Pγ be the space of probability measures that are absolutely continuous with respect to γ. We study lower bounds for the functional Fγ(µ) = Ent(µ) − 1 2W2 2 (µ, ν), where µ ∈ Pγ, ν ∈ Pγ, Ent(µ) = R log µ γ  dµ is the relative Gaussian entropy, and W2 is the quadratic Kantorovich distance. The minimizers of Fγ are solutions to a dimension-free Gaussian analog of the (real) K¨ahler–Einstein equation. We show that Fγ(µ) is bounded from below under the assumption that the Gaussian Fisher information of ν is finite and prove a priori estimates for the minimizers. Our approach relies on certain stability estimates for the Gaussian log-Sobolev and Talagrand transportation inequalities.

Sharp Poincaré-type inequality for the Gaussian measure on the boundary of convex sets

2016 · PREPRINT · en

A sharp Poincar\'e-type inequality is derived for the restriction of the Gaussian measure on the boundary of a convex set. In particular, it implies a Gaussian mean-curvature inequality and a Gaussian iso second-variation inequality. The new inequality is nothing but an infinitesimal form of Ehrhard's inequality for the Gaussian measure.

PDF ↗

Remarks on curvature in the transportation metric

2016 · PREPRINT · en

According to a classical result of E.~Calabi any hyperbolic affine hypersphere endowed with its natural Hessian metric has a non-positive Ricci tensor. The affine hyperspheres can be described as the level sets of solutions to the ``hyperbolic" toric K\"ahler-Einstein equation $e^{\Phi} = \det D^2 \Phi$ on proper convex cones. We prove a generalization of this theorem showing that for every $\Phi$ solving this equation on a proper convex domain $\Omega$ the corresponding metric measure space $(D^2 \Phi, e^{\Phi}dx)$ has a non-positive Bakry-{\'E}mery tensor. Modifying the Calabi's computations we obtain this result by applying tensorial maximum principle to the weighted Laplacian of the Bakry-{\'E}mery tensor. All of the computations are carried out in the generalized framework adapted to the optimal transportation problem for arbitrary target and source measures. For the optimal transportation of probability measures we prove a third-order uniform dimension-free a priori estimate in spirit of the second-order Caffarelli's contraction theorem.

PDF ↗

Riemannian metrics on convex sets with applications to Poincaré and log-Sobolev inequalities

2016 · ARTICLE · en

Given a probability measure μ supported on a convex subset of Euclidean space (Rd , g0), we are interested in obtaining Poincaré and log-Sobolev type inequalities on (, g0,μ). To this end, we change the metric g0 to a more general Riemannian one g, adapted in a certain sense toμ, and perform our analysis on (, g,μ). The types ofmetrics we consider are Hessian metrics (intimately related to associated optimal-transport problems), productmetrics (which are very usefulwhenμis unconditional, i.e. invariant under reflections with respect to the coordinate hyperplanes), and metrics conformal to the Euclidean one, which have not been previously explored in this context. Invoking on (, g,μ) tools such as Riemannian generalizations of theBrascamp–Lieb inequality and the Bakry–Émery criterion, and passing back to the original Euclidean metric, we obtain various weighted inequalities on (, g0,μ): refined and entropic versions of theBrascamp–Lieb inequality,weighted Poincaré and log-Sobolev inequalities, Hardy-type inequalities, etc.Key to our analysis is the positivity of the associated Lichnerowicz–Bakry–Émery generalized Ricci curvature tensor, and the convexity of themanifold (, g,μ). In some cases,we can only ensure that the lattermanifold is (generalized) mean-convex, resulting in additional boundary terms in our inequalities.

DOI ↗ PDF ↗

Римановы метрики в R^n и неравенства типа Соболева

2016 · ARTICLE · ru

В работе получены оценки типа Пуанкаре для логарифмически вогнутой меры $\mu$ на выпуклом множестве $\Omega$. Для этой цели $\Omega$ наделяется римановой метрикой $g$, в которой риманово многообразие с мерой $(\Omega, g, \mu)$ имеет неотрицательный тензор Бакри-Эмери и, как следствие, удовлетворяет неравенству Браскампа-Либа. Рассмотрены несколько естественных классов метрик (гессиановы, конформные), каждая из которых дает новые весовые неравенства типа Пуанкаре, Харди, логарифмического неравенства Соболева и другие результаты.

The KLS isoperimetric conjecture for generalized Orlicz balls

2016 · PREPRINT · en

What is the optimal way to cut a convex bounded domain $K$ in Euclidean space $(\Real^n,\abs{\cdot})$ into two halves of equal volume, so that the interface between the two halves has least surface area? A conjecture of Kannan, Lov\'asz and Simonovits asserts that, if one does not mind gaining a universal numerical factor (independent of $n$) in the surface area, one might as well dissect $K$ using a hyperplane. This conjectured essential equivalence between the former non-linear isoperimetric inequality and its latter linear relaxation, has been shown over the last two decades to be of fundamental importance to the understanding of volumetric and spectral properties of convex domains. In this work, we address the conjecture for the subclass of generalized Orlicz balls $$ K = \{x \in \Real^n \; ; \; \sum_{i=1}^n V_i(x_i) \leq E \} , $$ confirming its validity for certain levels $E \in \Real$ under a mild technical assumption on the growth of the convex functions $V_i$ at infinity. In sharp contrast to previous approaches for tackling the KLS conjecture, we emphasize that no symmetry assumptions are assumed on $K$. This significantly enlarges the subclass of convex bodies for which the conjecture is confirmed.

Remarks on mass transportation minimizing expectation of a minimum of affine functions

2016 · ARTICLE · en

We study the Monge--Kantorovich problem with one-dimensional marginals $\mu$ and $\nu$ and the cost function $c = \min\{l_1, \ldots, l_n\}$ that equals the minimum of a finite number $n$ of affine functions $l_i$ satisfying certain non-degeneracy assumptions. We prove that the problem is equivalent to a finite-dimensional extremal problem. More precisely, it is shown that the solution is concentrated on the union of $n$ products $I_i \times J_i$, where $\{I_i\}$ and $\{J_i\}$ are partitions of the real line into unions of disjoint connected sets. The families of sets $\{I_i\}$ and $\{J_i\}$ have the following properties: 1) $c=l_i$ on $I_i \times J_i$, 2) $\{I_i\}, \{J_i\}$ is a couple of partitions solving an auxiliary $n$-dimensional extremal problem. The result is partially generalized to the case of more than two marginals.

PDF ↗

Eigenvalue distribution of optimal transportation

2015 · ARTICLE · en

We investigate the Brenier map ΔΦ between the uniform measures on two convex domains in ℝn, or, more generally, between two log-concave probability measures on ℝn. We show that the eigenvalues of the Hessian matrix D2Φ exhibit concentration properties on a multiplicative scale, regardless of the choice of the two measures or the dimension n. © 2015 Mathematical Sciences Publishers.

DOI ↗ PDF ↗

Изопериметрические неравенства на весовых многообразиях с краем.

2015 · ARTICLE · ru

Хорошо известно, что с помощью формулы Бохнера–Лихнеровича–Вайценбека можно получать неравенства типа Пуанкаре на римановых многообразиях с мерой, удовлетворяющих обобщенному условию Бакри–Эмери. Для случая многообразий с краем подходящим обобщением является фор_ мула Рaйлли. Систематически используя формулу Рaйлли в сочетании с различными комбинация_ ми условий на край многообразия и граничных условий для эллиптических уравнений, мы получаем новые неравенства типа Пуанкаре для многообразий с мерой. Получено обобщение неравенства Колесанти, доказанного ранее в евклидовом пространстве. Из него вытекает обобщение неравенств типа Брунна–Минковского для многообразий. Изучено новое уравнение эволюции поверхностей на римановых многообразиях, дающее в евклидовом случае сложение выпуклых тел по Минковско_ му. Наш подход охватывает широкий класс выпуклых мер, в том числе меры с тяжелыми хвостами, соответствующие отрицательной аналитической размерности.

PDF ↗

Курсы (13)