Кельберт Марк Яковлевич

Вероятность и статистика в примерах и задачах: в 3 т.

2021 · BOOK · ru

Для освоения теории вероятностей и математической статистики тренировка в решении задач и выработка интуиции важны не меньше, чем изучение доказательств теорем; большое разнообразие задач по этому предмету затрудняет студентам переход от лекций к экзаменационным задачам, а от них—к практике. Специфический предмет этого тома, цепи Маркова и их применения, переживает последнее время большой подъем. Многие замечательные теоретические результаты были получены в этой области, которая долгое время рассматривалась многими специалистами как «мертвая» зона. Активную роль в развитии этой области играют именно прикладные исследования. Предмет этой книги критически важен как для современных приложений (финансовая математика, менеджмент, телекоммуникации, обработка сигналов, биоинформатика), так и для приложений классических (актуарная математика, социология, инженерия). Авторы собрали большое количество упражнений, снабженных полными решениями. Эти решения адаптированы к нуждам и умениям учащихся. Необходимые теоретические сведения приводятся по ходу изложения; кроме того, текст снабжен историческими отступлениями. Настоящее издание осуществляется в двух выпусках. Часть I в основном ориентирована на студентов и преподавателей. Часть II в основном ориен- тирована на аспирантов и научных работников.

Optimal vaccine allocation during the mumps outbreak in two SIR centres

2020 · ARTICLE · en

The aim of this work is to investigate the optimal vaccine sharing between two SIR centres in the presence of migration fluxes of susceptibles and infected individuals during the mumps outbreak. Optimality of the vaccine allocation means the minimisation of the total number of lost working days during the whole period of epidemic outbreak $[0,t_f]$, which can be described by the functional $Q=\int_0^{t_f}I(t){\rm d}t$ where $I(t)$ stands for the number of infectives at time $t$. We explain the behaviour of the optimal allocation, which depends on the model parameters and the amount of vaccine available $V$.

On the occupancy problem for a regime switching model

2020 · ARTICLE · en

This article studies the expected occupancy probabilities on an alphabet. Unlike the standard situation, where observations are assumed to be independent and identically distributed (iid), we assume that they follow a regime switching Markov chain. For this model, we 1) give finite sample bounds on the occupancy probabilities, and 2) provide detailed asymptotics in the case where the underlying distribution is regularly varying. We find that, in the regularly varying case, the finite sample bounds are rate optimal and have, up to a constant, the same rate of decay as the asymptotic result.

Viral Infection Dynamics Model Based on a MarkovProcess with Time Delay between Cell Infection and Progeny Production

2020 · ARTICLE · en

Many human virus infections including those with the human immunodeficiency virus type 1 (HIV) are initiated by low numbers of founder viruses. Therefore, random effects have a strong influence on the initial infection dynamics, e.g., extinction versus spread. In this study, we considered the simplest (so-called, ‘consensus’) virus dynamics model and incorporated a delay between infection of a cell and virus progeny release from the infected cell. We then developed an equivalent stochastic virus dynamics model that accounts for this delay in the description of the random interactions between the model components. The new model is used to study the statistical characteristics of virus and target cell populations. It predicts the probability of infection spread as a function of the number of transmitted viruses. A hybrid algorithm is suggested to compute efficiently the system dynamics in state space domain characterized by the mix of small and large species densities.

The Feynman–Kac Representation and Dobrushin–Lanford–Ruelle States of a Quantum Bose-Gas

2020 · ARTICLE · en

This paper focuses on infinite-volume bosonic states for a quantum particle system (a quantum gas) in Rd. The kinetic energy part of the Hamiltonian is the standard Laplacian (with a boundary condition at the border of a ‘box’). The particles interact with each other through a two-body finite-range potential depending on the distance between them and featuring a hard core of diameter a > 0. We introduce a class of so-called FK-DLR functionals containing all limiting Gibbs states of the system. As a justification of this concept, we prove that for d = 2, any FK-DLR functional is shift-invariant, regardless of whether it is unique or not. This yields a quantum analog of results previously achieved by Richthammer.

Математика Страхования в Примерах и Задачах

2020 · BOOK · ru

Эта книга написана на основе магистерского курса по математике стра- хования и отражает современное состояние актуарной науки. В ней собрано большое количество примеров и задач, для большинства из которых приво- дятся полные решения. Для освоения математики страхования тренировка в решении задач и выработка интуиции не менее важны, чем изучение до- казательства теорем. Опыт показывает, что достаточно подготовленные сту- денты глубоко овладевают материалом, разбирая тщательно подобранные примеры и задачи. Это не умаляет того факта, что абстрактные идеи явля- ются сердцем математической теории, поэтому необходимые теоретические сведения приводятся по ходу изложения. Книга может быть полезна студентам, аспирантам и научным работ- никам, интересующимся стохастическими аспектами математики страхова- ния.

HJB equations with gradient constraint associated with controlled jump-diffusion processes

2019 · ARTICLE · en

In this paper, we guarantee the existence and uniqueness (in the almost everywhere sense) of the solution to a Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equation with gradient constraint and a partial integro-di erential operator whose Levy measure has bounded variation. This type of equation arises in a singular control problem, where the state process is a multidimensional jump-di usion with jumps of finite variation and infinite activity. We verify, by means of "-penalized controls, that the value function associated with this problem satis es the aforementioned HJB equation.

Fair insurance premium level in connected SIR model under epidemic outbreak

2019 · PREPRINT · en

Weighted entropy and optimal portfolios for risk-averse Kelly investments

2018 · ARTICLE · en

Following a series of works on capital growth investment, we analyse log-optimal portfolios where the return evaluation includes ‘weights’ of different outcomes. The results are twofold: (A) under certain conditions, the logarithmic growth rate leads to a supermartingale, and (B) the optimal (martingale) investment strategy is a proportional betting. We focus on properties of the optimal portfolios and discuss a number of simple examples extending the well-known Kelly betting scheme. An important restriction is that the investment does not exceed the current capital value and allows the trader to cover the worst possible losses. The paper covers a class of discrete-time models. A continuous-time extension will be a topic of a forthcoming study

Основные понятия теории вероятностей и математической статистики

2018 · BOOK · ru

Мы почувствовали, что книга, состоящая главным образом из заданий, предложенных на экзаменах по математике в Кембриджском универси- тете, будет полезной большинству студентов. В соответствии с нашими собственными научными и педагогическими устремлениями мы выбрали главной темой вероятность и статистику. Отправным пунктом стало со- держание курса теории вероятностей (I год обучения) и математической статистики (II год обучения). Чтобы отразить полное содержание этих курсов, потребуется еще несколько томов; так или иначе, мы решили реализовать этот проект. Наша основная цель—представить кембриджские курсы вероятно- сти и статистики с помощью экзаменационных заданий, предложенных в предыдущие годы. В процессе написания мы сочли необходимым время от времени включать также некоторые стандартные вопросы из списков задач, иллюстрирующих материал лекций, хотя мы и старались свести их число к минимуму.